Números pitagóricos

Para los pitagóricos los números eran el principio generador del cosmos, el cosmos estaba ordenado  y entretejido por relaciones matemáticas entre ellos. Los números pitagóricos son los comunmente conocidos como números enteros positivos:  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, etc. La unidad, el 1, no es propiamente un número para ellos, sino el origen de los números.

Entre los números pitagóricos hay varios tipos:

1. Pares e impares 
2. Pares-impares, los que son el producto de un par y un impar ( 6= 3 x 2)
3. Impares-impares, los que son productos de dos impares (15 = 5 x 3)
4. Primos y compuestos (7 o 6 (compuesto por 3x2)
5. Perfectos, los que son la suma de sus divisores (6 = 1 + 2 + 3). Tiempo después Nicómaco de gerasa (100 d. C.) probaría la regla general que dice que cuando 1 + 2  + 2^2 + ...+ 2^n = p, si p es primo (por ejemplo 7), n=2, (2^n)p será un número perfecto. O sea, 2^2 x 7 = 28
6. Amigos, son dos números tales que cada uno de ellos es la suma de los divisores del otro. Por ejemplo, 220 y  284. Los divisores de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110 que al sumarlos dan 284. Los divisores de 284 son: 1, 2, 4, 71 y 142 que al sumarlos dan 220
7. Abundantes o deficientes, si son mayores o menores que la suma de los divisores propios. Un número abundante es el 12 porque 1 + 2+ 3 + 4 + 6 = 16, sus divisores suman más cantidad que el propio número. Un número deficiente es el 10, porque sus divisores 1 + 2 + 5  suman 8 que es menor que 10.
8. Superparticulares: dos números que son múltiplos de su diferencia. 9 - 6 = 3, 9 es mútiplo de 3 (3 x 3= 9) y 6 es múltiplo de 3 (3 x 2 = 6).
9. Planos: Que pueden ser cuadrados, oblongos, triangulares, pentagonales, hexagonales, etc.  Los cuadrados se generan a partir de la unidad (1) agregando impares sucesivos (3, 5...). Ejemplo: 4^2 = 16 = 1 + 3 + 5 + 7. La fórmula general es el cuadrado n-ésimo 1 + 3 + ... + 2n -1. 

   

   
   

   Oblongos o gnomones: se generan a partir del 2 agregando los pares sucesivos. El tercer número oblongo es el 12 porque se crea agregando al 2 + 4 + 6. Su fórmula general es el n-ésimo n(n + 1). El gnomon es un rectángulo áureo. 

   
    Triangulares: Son aquellos números que se generan agregando a la unidad los naturales sucesivos. Ejemplo 1 + 2 + 3 + 4 = 10. El número sagrado de los pitagóricos. Su fórmula general es el 1/2n(n+1)
   
   
   
    
10. Sólidos:  Cúbicos, que son la suma de los impares sucesivos, o sea 1^3 = 1, 2^3 =3 + 5, 3^3 = 7 + 9 +11, 4^3 = 13 + 15 +17 +19. Los piramidales pueden ser cuadrados o triangulares.
    
    Un número piramidal cuadrado es el 14, se genera añadiendo al 1 los cuadrados sucesivos.
    
     
    
    Los piramidales triangulares son los que se generan agregando al 1 los números triangulares, su fórmula general es: 1/6(n(n+1)(n+2)).
    

Algunas  propiedades de los números planos:

-Dos triangulares sucesivos forman un cuadrado 6 + 10 = 4^2.

-El triángulo n-ésimo es la mitad del oblongo n-ésimo.

-Un cuadrado impar se descompone en cuatro oblongos y la unidad.

-Un cuadrado impar se descompone en dos cuadrados y dos oblongos.